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Introduction

Le module a pour but de simuler les opérations arithmétiques par un humain qui ne dispose pas de calculatrice, mais simplement de quelques feuilles de papier et d'un crayon.

Historique

Pendant les années 1960 (en débordant un peu sur les années 1970), j'ai appris les quatre opérations de base, addition, soustraction, multiplication et division.

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En 1976, j'ai appris également à extraire des racines carrées, avec une méthode très proche de la division en « potence » apprise quelques années plus tôt.

200000000|14142
100      |-----
 0400    |24
  11900  | 4
   060400|---
    03936|281
         |  1
         |----
         |2824
         |   4
         |-----
         |28282
         |    2
         |

En 1979, mon père a reçu des photocopies d'un cahier d'arithmétique datant de 1822. Ce cahier contient des divisions assez différentes de ce que mon père et moi connaissons. J'ai fait un peu d'ingéniérie inverse sur ce cahier et je pense avoir retrouvé la méthode utilisée. Néanmoins, c'est toujours hypothétique.

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Voici les deux premières divisions de la page présentée ci-dessus : 24696000 divisé par 25882 donne 954, reste 4572 et 34048000 divisé par 25882 donne 1315, reste 13170. Ces divisions correspondent aux règles de trois (7000 × 3528) / 25882 et (7000 × 4864) / 25882. Vous pouvez d'ailleurs voir les multiplications correspondantes à côté des divisions. La transcription ci-dessous ne montre pas que les restes 4572 et 13170 sont soulignés par un trait oblique.

Si vous trouvez illisibles les chiffres barrés, voici de nouveau les deux divisions, sans barrer les chiffres.

   04                 13
  1085               1421
 140217             040157
24696202           08166480
24696000{0954      34048000{1315
--------           --------
25882222           25882222
 258888             258888
  2588               2588
   25                 25

En 1982, pour un projet d'histoire des sciences, j'ai emprunté Number Words and Number Symbols, A Cultural History of Numbers, de Karl Menninger, je l'ai lu et je l'ai rendu à la bibliothèque.

En 1996, j'ai acheté et lu Histoire d'Algorithmes, du caillou à la puce.

En 2000 ou 2001, j'ai écrit un programme Perl permettant d'extraire des racines carrées avec la méthode de la potence. Ce programme a disparu de la circulation et je ne m'en porte pas plus mal.

En 2005, aux Journées Perl à Marseille j'ai présenté une communication éclair sur comment extraire une racine carrée. La démonstration était uniquement avec un feutre (émulant un crayon), un transparent et un rétro-projecteur (émulant une feuille de papier). Il n'y avait pas de programme informatique. C'était prévu pour « un jour ou l'autre ». Voici le transparent de cet exposé, montrant que la racine carrée de 65549,00 est 256,0, avec un reste de 13,00.

image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_racine_carree_jpeg not found

6554900|256,0
255    |-----
 3049  |45
  01300| 5
       |--
       |506
       |  6
       |---
       |5120
       |   0

En 2009, j'ai acheté un exemplaire de Number Words and Number Symbols, A Cultural History of Numbers et j'ai pu le consulter à loisir, sans être contraint de le rapporter à la bibliothèque.

En 2023, je commence à écrire ce programme en Raku et sous la forme d'un module.

But

Le calcul se fait à deux niveaux. Prenons le cas de la multiplication. Il y a d'abord le calcul mental, où l'écolier est capable de multiplier deux nombres à un chiffre pour obtenir un nombre à 1 ou 2 chiffres. Il y a ensuite le calcul sur papier, où l'écolier enchaîne les opérations élémentaires pour obtenir la multiplication complète d'un nombre à n chiffres par un nombre à n' chiffres.

Le module contient principalement deux classes. La première est la classe des nombres, où les opérations sont très limitées, correspondant au calcul mental sans papier. Par exemple, la multiplication est définie uniquement pour deux facteurs à un seul chiffre.

La deuxième classe représente une feuille de papier (ou quelques feuilles). Le principal attribut de cette classe est une liste d'actions, représentant l'écolier lisant des chiffres déjà inscrits, effectuant un calcul élémentaire et écrivant le résultat de ce calcul sur la feuille de papier, tout en prononçant les phrases convenues, telles que :

  6 fois 8, 48
  je pose 8 et je retiens 4

La classe comporte plusieurs méthodes correspondant aux opérations arithmétiques, addition, soustraction, multiplication, division et racine carrée. Ces méthodes alimentent l'attribut « liste des actions ». Une autre méthode affiche ces actions au format HTML. Selon les paramètres, l'affichage ne comporte que les chiffres mis en forme, ou bien l'affichage énumère en plus les phrases prononcées par la personne censée effectuer le calcul.

On peut envisager d'autres méthodes d'affichage pour d'autres formats, comme le texte pur ou le format LATEX + Metapost. Mais ce n'est pas une priorité.

Ce que le module ne fera pas

Il y a des choses que je savais faire à 10 ans mais que je n'ai pas prévu de reprendre dans le module. Notamment, je savais faire des opérations avec des nombres à virgule. Le module ne traite que des nombres entiers. Tenir compte de la virgule dans les nombres traités nécessiterait l'ajout de très nombreuses lignes de code pour un intérêt assez limité. Donc en fait ma démo des Journées Perl de 2005 ne pourra pas être reprise telle quelle. Il faudra calculer la racine carrée de 6554900 avec le module, puis, après avoir quitté ce module, insérer la virgule à l'endroit nécessaire. Ou alors, pour calculer une valeur approchée de π à 6 décimales avec la fraction 355/113, il faudra à la place calculer la division 355_000_000 / 113 et insérer la virgule juste après le premier chiffre.

Un autre point. Dans les divisions, la détermination des chiffres successifs du quotient est un processus d'essais et d'erreurs. Par exemple, pour diviser 65400 par 1852, on commence par se restreindre au premier chiffre du dividende et au premier chiffre du diviseur, soit 6 et 1, ce qui donne pour le quotient le chiffre 6. En voulant calculer le reste intermédiaire, on voit que 6 est trop fort, donc on recommence avec 5. 5 est lui-même trop fort, donc on recommence avec 4 puis 3 qui convient finalement. Cela, c'était l'apprentissage basique. Ultérieurement, j'ai appris que si le deuxième chiffre du diviseur était 9 ou même 8, on pouvait assez souvent évaluer le chiffre du diviseur en prenant le premier chiffre du diviseur, plus 1, avec le premier chiffre du du dividende, pour déterminer le chiffre du quotient. Dans le cas de 65400 et de 1852, le premier chiffre du quotient aurait été évalué avec la division de 6 par 2, donc directement 3. Mon module ne fait pas cela. Toutefois, il est prévu une option « triche » où le module élimine les tentatives ratées de 6 puis de 5 et de 4. Cela donne dans le module

  En 6, combien de fois 1, il y va 6 fois.
  Mais je triche et j'essaie directement 3.

En fait, cela revient presque au même, si ce n'est que mon module passe plus de temps à faire des calculs qu'il abandonnera ensuite. Une autre différence est que pour la division 74500 par 1852, l'évaluation initiale 7/2 donne 3, alors que le premier chiffre du quotient est 4. Le module essaie 7, 6, 5 puis 4 sans essayer 3 qui est trop faible. Il teste donc uniquement si un chiffre est trop fort, jamais si un chiffre est trop faible.

Est-il indispensable d'ajouter un signe plus (ou plusieurs) à la gauche d'une addition, un signe moins à la gauche d'une soustraction et un signe multiplier à la gauche d'une multiplication ? Au tout début de mes leçons, c'est ce que j'ai appris, mais très rapidement, cela a été abandonné. De temps à autre, il m'arrivait d'écrire un signe multiplier, mais en règle générale, mes multiplications n'avaient pas de signe. Le module n'écrira pas ces signes. Une seule exception, la conversion d'une base à une autre, qui enchaîne les multiplications avec les additions. Pour une meilleure lisibilité, le module ajoutera les signes multiplier et plus là où ils doivent se trouver.

Le module utilise uniquement des chiffres indo-arabo-latins (0, 1, 2, 3, etc). Il n'est pas prévu d'utiliser des chiffres indo-arabes (٠ pour 0, ١ pour 1, ٢ pour 2, ٣ pour 3, ٤ pour 4, etc) ou chinois ou autres systèmes positionnels. Et encore moins les systèmes de numération additifs comme les hiéroglyphes égyptiens et les chiffres romains.

Un humain suffisamment expérimenté (moi-même à 10 ans, mais pas à 8 ans) est capable d'identifier des cas de figure où l'on peut recourir à des simplifications, par exemple lorsque le multiplicateur ou le multiplicande possède de nombreux chiffres à zéro. Mon module ne détectera pas ces cas de figure et suivra aveuglément la procédure, même si cela tourne au ridicule.

Mon module peut être considéré comme un équivalent de bigint. C'est vrai tant que l'on ne s'intéresse pas aux performances. Un module bigint a pour objectif des calculs performants en précision étendue, ce n'est pas le cas de mon module, qui a pour objectif des calculs en précision étendue et décomposables en calculs simples.

Non seulement les performances ne sont pas au rendez-vous, mais il y a l'ergonomie. Supposons que l'on veuille calculer √(b² - 4ac). Il faudrait écrire un programme du genre :

my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $a;
my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $b;
my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $c;
# initialisation de a, b et c, à compléter
...
# fin de l'initialisation, début du calcul
my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $quatre .= new(value => '4');
my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $resultat;

my Arithmetic::PaperAndPencil $feuille .= new;
$resultat = $feuille.squareroot($feuille.subtraction($feuille.multiplication($b, $b), $feuille.multiplication($quatre, $feuille.multiplication($a, $c))))

Et encore, dans l'exemple ci-dessus, les paramètres sont prétendument des paramètres positionnels, alors que dans la réalité, ils sont spécifiés par des mots-clés.

Un dernier point où, en fait, je suis d'accord avec mon module. Lorsque l'on m'a enseigné les opérations arithmétiques, j'ai appris à ne pas écrire les retenues, mais à les conserver en mémoire à court terme. Mon module fera pareil, il n'écrira pas les retenues.

Ce que le module fera

Lorsque j'avais 10 ans, je ne savais pas encore extraire des racines carrées, je ne connaissais pas la « variante 1822 » (ou variante « bateau ») de la division, ni certaines autres variantes de la multiplication et de la division. Le module contiendra ces opérations et ces variantes.

La plupart des êtres humains savent calculer en base 10 uniquement. Certains ont une connaissance limitée des calculs en octal et en hexadécimal, Mon module sera capable de faire des calculs dans n'importe quelle base de 2 à 36. Ainsi, la classe de calcul mental sait qu'en base 36, Z × Z = Y1 (équivalent en base 10 : 35 × 35 = 1225 = 36 × 34 + 1).

Lorsque j'ai appris les bases de numération, j'ai appris à convertir les nombres de base 10 en base b en effectuant une cascade de divisions et à convertir les nombres de base b en base 10 en effectuant un calcul de polynôme avec le schéma de Horner (je ne savais pas que cela s'appelait le schéma de Horner, je ne savais même pas ce qu'était un polynôme, mais peu importe, je savais faire le calcul). Mais je n'ai pas appris à convertir directement d'une base b à une base b'. Ultérieurement, j'ai découvert que certains cas particuliers, comme la conversion de base 2 en base 4, 8 ou 16 ou inversement, peuvent donner lieu à un calcul très simple et très rapide. Mais je n'étais toujours pas en mesure de convertir un nombre directement de la base b à la base b' dans le cas général. Le module permettra de convertir un nombre de base b en base b' pour n'importe quelles bases entre 2 et 36.

Les nombres implémentés par le module ne sont pas limités. Ou plutôt, la limitation est imposée par l'interpréteur Raku et par la machine sur laquelle il est installé. Ainsi, il sera possible de reproduire la multiplication de Frank Nelson Cole, lorsqu'il a montré les diviseurs du 67<sup>e</sup> nombre de Mersenne en 1903. Lorsque j'avais 10 ans, j'avais qualitativement toutes les connaissances nécessaires pour effectuer la même multiplication que Cole, mais quantitativement cela m'aurait demandé trop de temps et trop d'efforts.

Lorsque j'ai appris à effectuer des multiplications et des divisions, j'ai appris les phrases qui vont avec (« En 6, combien de fois 1, il y va 6 fois. »). Ces phrases sont, bien entendu, en français. Toutefois, le module prévoit un mécanisme de multi-linguisme. Donc, si je reçois l'aide de personnes anglophones, germanophones ou autres, le module pourra écrire ces phrases en anglais, en allemand etc.

Une source de confusion éventuelle

Les nombres utilisés par le module sont de deux natures distinctes. Il y a les nombres qui servent au calcul demandé (addition, multiplication, racine carrée) et qui sont des instances de la classe Arithmetic::PaperAndPencil::Number. On trouve également dans cette nature les morceaux de nombres : chiffres des unités, retenues, etc. Et il y a les nombres annexes, qui servent à compter le nombre d'éléments dans un tableau ou qui servent à exprimer les bases de numération et les coordonnées ligne-colonne pour la mise en forme de l'opération. Ces nombres-là sont simplement des Int natifs de Raku, ils ne sont pas soumis aux limites du calcul mental, comme l'impossibilité de multiplier deux nombres si l'un des deux a plusieurs chiffres.

Opérations

Addition

Pas de variante, pas de cas particulier. Il n'y a rien à dire.

Soustraction

La soustraction étant une addition « à l'envers », il semblerait qu'il n'y ait pas plus à dire à son sujet qu'au sujet de l'addition. C'est faux. Il faut d'abord distinguer la soustraction indépendante (c'est-à-dire en dehors de toute division) et la soustraction incluse (calcul du reste intermédiaire dans une division). De plus, si je n'ai pas prévu de variante pour l'addition, il y en a une pour la soustraction, la variante avec le complément à b, ainsi qu'on l'apprend en cours de programmation assembleur (complément à 2 ou complément à 16).

Soustraction indépendante

Une soustraction se fait en une seule phase. Toutefois, lorsque les deux nombres à soustraire sont très différents, on peut distinguer jusqu'à trois sous-phases. Prenons par exemple la soustraction

123450000012345
-       8867700
---------------

La première sous-phase correspond aux opérations sur les chiffres du nombre bas. Cela correspond à l'image que l'on se fait de la soustraction.

123450000012345
-       8867700
---------------
        1144645

Il n'y a plus de chiffre dans le nombre bas, mais il reste une retenue à traiter. On passe à la deuxième sous-phase.

123450000012345
-       8867700
---------------
    49991144645

Maintenant, il n'y a ni retenue, ni chiffre du nombre du bas. La troisième sous-phase consiste donc simplement à recopier les chiffres restants du nombre du haut.

123450000012345
-       8867700
---------------
123449991144645

Dans certains cas, la deuxième sous-phase et la troisième sous-phase peuvent être absentes. Notamment, pour les soustractions permettant de calculer le reste intermédiaire dans une division ou une extraction de racine carrée, la seconde sous-phase concernera au maximum un chiffre du nombre du haut et la troisième sous-phase sera réduite à néant.

Soustraction incluse dans un autre calcul

Prenons l'exemple de la division

---
9212|139
    |---
    |6

Lorsque l'élève calcule le reste intermédiaire, il commence par calculer « 6 fois 9, 54 ». Puis il compare ce produit 54 avec le chiffre 1. L'élève prononce alors « et 7, 61 » (ou bien « ôté de 61, reste 7 ») et « je pose 7, je retiens 6 »

Que se passe-t-il en réalité ? Les données en entrée de la soustraction sont :

un nombre « haut » à un seul chiffre (1 dans l'exemple), que vous pouvez interpréter comme un nombre partiellement connu « ?1 »,
un nombre « bas » à un ou deux chiffres (54 dans l'exemple).

Les données en sortie sont :

un nombre « haut » habituellement ajusté à deux chiffres (61 dans l'exemple),
le résultat de la soustraction, un seul chiffre (7 dans l'exemple).

Ce processus est un processus mental, sans trace écrite, donc il fait partie de la classe Arithmetic::PaperAndPencil::Number. Il est utilisé également dans la soustraction indépendante, même si dans ce cas on sait d'avance que la retenue ne peut pas dépasser 1.

Une remarque annexe. Lorsque j'ai appris l'arithmétique dans mon jeune âge, j'ai appris à dire « 6 fois 9, 54, et 7, 61 » alors que dans d'autres écoles, c'était plutôt « 6 fois 9, 54, ôté de 61, reste 7 ». À vrai dire, je n'ai pas compris et je ne comprends toujours pas pourquoi la version que j'ai apprise est censée être meilleure que l'autre version. Peu importe, au final le message implémenté est celui que j'ai appris. Pour les autres langues, anglais, italien, espagnol, etc., je fais confiance à quiconque me donnera les phrases conventionnelles dans sa langue maternelle.

Soustraction utilisant le complément à b

Cette variante est utilisé pour la partie fractionnaire (ou mantisse) des logarithmes et pour la soustraction en base 2 et en base 16. Pourtant, elle fonctionne avec les entiers dans n'importe quelle base de numération. Je donnerai l'exemple en décimal avec le complément à 10. Je reprends la soustraction de l'exemple ci-dessus.

123450000012345
-       8867700
---------------

Pour calculer la différence, on prend le complément à 10 (puisqu'on est en décimal) du nombre du bas. En fait, il n'y a pas un seul complément à 10, il y en a plusieurs, en fonction de la longueur souhaitée. Lors de calculs de logarithmes avec 5 décimales, ou lorsque l'on écrit des programmes assembleurs pour une machine à 16 bits, le contexte nous impose une longueur pour le complément à 10 ou le complément à 2, donc la question est éludée. Ici le nombre du haut a 15 chiffres, donc on prend le complément à 10 de 8866700 de longueur 15. Il y a deux façons de le calculer.

Première façon : on complète le nombre par des zéros pour obtenir la longueur souhaitée (15 dans l'exemple).

        8867700
000000008867700

On examine les chiffres en partant de la droite. Tant qu'il y a des zéros, on les laisse tels quels.

000000008867700
             00

Le chiffre suivant, et uniquement ce chiffre, est remplacé par son complément à 10. Dans l'exemple, 7 devient 3.

000000008867700
            300

Enfin on remplace tous les chiffres restants par leur complément à 9 (y compris les zéros restants). Dans l'exemple, 7 devient 2, 6 devient 3, 8 devient 1 et 0 devient 9.

000000008867700
999999991132300

Deuxième façon de calculer le complément à 10 : on complète le nombre par des zéros pour obtenir la longueur souhaitée.

        8867700
000000008867700

On remplace tous les chiffres, sans exception, par leur complément à 9.

000000008867700
999999991132299

Et on ajoute 1.

000000008867700
999999991132299
              1
---------------
999999991132300

Une fois que l'on a obtenu le complément à 10 du nombre du bas par la première ou la deuxième méthode, on l'additionne au nombre du haut.

 123450000012345
 999999991132300
----------------
1123449991144645

Il y a forcément un chiffre supplémentaire (qui fait passer le résultat à 16 chiffres dans l'exemple) et ce chiffre supplémentaire est forcément 1. On supprime ce chiffre et on obtient le résultat, 123449991144645.

Bien sûr, en base 2 on parlera du complément à 1 et du complément à 2. En base 16, on peut parler du complément à 15 (ou F) et du complément à 16, mais comme la base 16 est, en quelque sorte, une « vision de haut-niveau » de la base 2, il arrive fréquemment que, par abus de langage, on parle de complément à 1 et de complément à 2 en base 16.

Multiplication

Standard

La multiplication standard est la multiplication bien connue

   628
   234
  ----
  2512
 1884.
1256..
------
146952

Y a-t-il quelque chose à ajouter ? Oui. Il y a deux sous-variantes. La première est la sous-variante « avec raccourcis ». Si, au lieu de multiplier 628 par 234, on le multiplie par 333, la variante standard basique effectue trois fois le même calcul, ce qui donne :

3 fois 8, 24, je pose 4 et je retiens 2
3 fois 2, 6, et 2, 8, je pose 8 et je ne retiens rien
3 fois 6, 18, je pose 18

   628
   333
  ----
  1884

3 fois 8, 24, je pose 4 et je retiens 2
3 fois 2, 6, et 2, 8, je pose 8 et je ne retiens rien
3 fois 6, 18, je pose 18

   628
   333
  ----
  1884
 1884.

3 fois 8, 24, je pose 4 et je retiens 2
3 fois 2, 6, et 2, 8, je pose 8 et je ne retiens rien
3 fois 6, 18, je pose 18

   628
   333
  ----
  1884
 1884.
1884..

Dans la variante avec raccourcis, ces calculs sont effectués une seule fois. Les deux autres fois, le calculateur se contente de recopier une ligne existante, ce qui donne :

3 fois 8, 24, je pose 4 et je retiens 2
3 fois 2, 6, et 2, 8, je pose 8 et je ne retiens rien
3 fois 6, 18, je pose 18

   628
   333
  ----
  1884

Je recopie la ligne 1884

   628
   333
  ----
  1884
 1884.

Je recopie la ligne 1884

   628
   333
  ----
  1884
 1884.
1884..

L'autre sous-variante ne correspond pas à une pratique connue (tout au moins connue par moi), elle est simplement l'extension à la multiplication du principe de la division préparée. Sur une première feuille de papier, le calculateur établit la table de mutiplication de 628. Dans le cas de la division, il faut aller jusqu'à « 9 × 628 », ici on sait que l'on peut s'arrêter à « 4 × 628 ». Puis sur la deuxième page, la multiplication proprement dite ne comporte que des copies de lignes :

1 fois 628,  628
2 fois 628, 1256
3 fois 628, 1884
4 fois 628, 2512
Page suivante

   628
   234
  ----

Je recopie la ligne 2512

   628
   234
  ----
  2512

Je recopie la ligne 1884

   628
   234
  ----
  2512
 1884.

Je recopie la ligne 1256

   628
   234
  ----
  2512
 1884.
1256..

En fait, la variante « préparée » est moins efficace que la variante « avec raccourcis ». Supposons que le multiplicateur soit 747. La variante avec raccourcis calculera uniquement 4 × 628 et 7 × 628, tandis que la variante « préparée » calculera tous les produits partiels de 2 × 628 jusqu'à 7 × 628.

Il manque la dernière étape, l'addition des produits intermédiaires. Cette étape est identique pour les trois variantes, c'est pourquoi je ne m'appesantis pas dessus.

Variante « par jalousie »

Pour ce paragraphe, j'ai repris l'exemple de la multiplication de 628 par 234, qui donne 146 952. Le multiplicande est sur fond bleu, le multiplicateur sur fond vert et le produit sur fond rose. Ces couleurs sont là uniquement pour faciliter la compréhension des exemples. Elles ne figurent pas dans les véritables multiplications.

Longtemps avant de lire Histoire d'algorithmes (HAL) et Number Words and Number Symbols (NWNS), j'avais eu vent d'une variante rectangulaire de la multiplication. Elle avait la forme de la multiplication A1 ci-dessous.

image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_rect_mult_png not found

Dans NWNS à la page 442, l'auteur donne un exemple de multiplication en chiffres indo-arabo-latins (0, 1, 2, 3, etc) conforme au modèle A2 et le même exemple en chiffres indo-arabes (٠ pour 0, ١ pour 1, ٢ pour 2, ٣ pour 3, etc) et conforme au modèle B3, avec la volonté de mettre tout le résultat sur la dernière ligne en tassant les chiffres. Le nom de la variante vient de l'italien, multiplicare per gelosia, ce qui signifie « multiplier à la manière d'une jalousie » (dans le sens de « store vénitien »).

Dans HAL, cela commence page 26 avec une multiplication dans laquelle le multiplicateur a un seul chiffre et utilisant le modèle A1. Cet exemple est tiré du Līlāvatī de Ganesa. HAL donne plusieurs noms pour cette technique : « par tableau », « par grillage », « par filets » et « par jalousie ». J'ai conservé ce dernier, qui est identique en anglais et qui reprend le terme italien donné par NWNS.

Ensuite, dans HAL, la page 28 présente une multiplication extraite de Miftāh al-hisāb du mathématicien Al-Kāshī'. Dans cette multiplication, les côtés du rectangle sont inclinés de 45° par rapport à l'horizontale ou à la verticale. De plus, les nombres sont en base 60 (degrés, minutes, etc) en caractères arabes et écrits de droite à gauche. Page 29, il y a une multiplication B2 écrite de droite à gauche, le multiplicateur ayant un seul chiffre comme à la page 26. Page 30, vous trouvez une multiplication selon le modèle A2 et en chiffres chinois, venant de Jiunzhang suanfa bilei daquan, un manuscrit de 1450. Page 32, il y a une multiplication A2 et une multiplication B1 provenant d'un traité anonyme publié en 1478 à Trévise et une multiplication B2 et une multiplication A2 provenant d'un traité d'arithmétique de 1494 écrit par Luca Pacioli.

La multiplication A1 est un peu encombrante, mais on peut s'en accommoder. La multiplication B1 peut prêter à confusion, le multiplicateur étant collé à la dernière partie du produit. Quant à la multiplication B3, elle est presque illisible, elle n'est pas pédagogique (quelqu'un qui découvre cette variante ne peut pas deviner comment sont calculés les trois derniers chiffres) et elle est incompatible avec des coordonnées ligne-colonne de type Int. Par conséquent, le module ne prévoit que la multiplication A2 et la multiplication B2, renommées simplement « jalousie-A » et « jalousie-B », ainsi que la multiplication A1, nommée elle aussi « jalousie-A », mais avec en plus un paramètre :product<straight>. Ce paramètre peut s'appliquer également à la multiplication « jalousie-B ». Je signale en outre que les lignes internes horizontales et verticales ne sont pas tracées. Cela donne ceci :

   6 2 8               6 2 8             6 2 8          6 2 8
  --------            --------         --------       --------
 1|1/0/1/|            |1/0/1/|         |\4\8\2|       |\4\8\2|
  |/2/4/6|2           |/2/4/6|2       4|2\0\3\|2     4|2\0\3\|
 4|1/0/2/|           /|1/0/2/|         |\8\6\4|       |\8\6\4|
  |/8/6/4|3         / |/8/6/4|3       3|1\0\2\|5     3|1\0\2\|\
 6|2/0/3/|         / /|2/0/3/|         |\2\4\6|       |\2\4\6| \
  |/4/8/2|4       / / |/4/8/2|4       2|1\0\1\|9     2|1\0\1\|\ \
  --------       / /  --------         --------       -------- \ \
   9 5 2        1 4 6  9 5 2             1 4 6          1 4 6  9 5 2

Avec une petite différence dans la mesure où je ne sais pas utiliser le soulignement en Markdown. Je l'ai remplacé ici par de simples tirets. Dans le HTML généré, le multiplicande et la dernière ligne du rectangle utilisent la balise HTML de soulignement <u>. En revanche, les traits verticaux et diagonaux sont représentés par des caractères « pipe », « slash » et « backslash ».

Variante « bateau » (boat)

Cette variante est décrite dans NWNS à la page 440. Elle ressemble à la variante « boat » de la division, c'est pourquoi je lui ai attribué le même nom.

Karl Menninger commence par décrire le principe indépendamment de la disposition réelle des chiffres. Reprenons la multiplication 234 × 628. Le premier produit intermédiaire est le produit 234 × 6. Cela donne :

  24
 18
12
------
   628
------
 234

Le deuxième produit intermédiaire est 234 × 2, en réécrivant le multiplicateur 234 aligné cette fois avec le chiffre 2 du multiplicande. La multiplication devient alors :

   08
  06
 04
------
  24
 18
12
------
   628
------
 234
  234

Et le troisième produit intermédiaire est 234 × 8, après avoir écrit le multiplicateur aligné avec le chiffre 8 du multiplicande :

    32
   24
  16
------
   08
  06
 04
------
  24
 18
12
------
   628
------
 234
  234
   234

Finalement, l'addition des produits intermédiaires

146952
------
    32
   24
  16
------
   08
  06
 04
------
  24
 18
12
------
   628
------
 234
  234
   234

Cela, c'était le principe. En fait, la multiplication se fait en écrivant chaque chiffre dans la première case disponible dans la bonne colonne. Et je supprime les zéros de tête. Je reprends les différentes étapes, en mettant en regard le principe (après avoir enlevé les zéros de tête) et le réel.

Deuxième étape.

Troisième étape.

Et l'addition des produits intermédiaires.

En fait, dans la description de NWNS, les produits élémentaires se font de droite à gauche, alors que je les ai exécutés de gauche à droite ci-dessus. Voir la différence ci-dessous, avec sur la première ligne les étapes successives de droite à gauche et sur la deuxième ligne les étapes successives de gauche à droite

Page 441, NWNS présente la version médiévale de l'opération, dans laquelle chaque produit élémentaire est additionné aux précédents immédiatement après avoir été calculé, et non pas à la fin. Là encore, le calcul se fait de droite à gauche. Les résultats intermédiaires sont 4 × 6 = 24, 30 × 6 + 24 = 204 et 200 × 6 + 204 = 1404, puis 4 × 2 + 14040 = 14048, 30 × 2 + 14048 = 14108 et 200 × 2 + 14108 = 14508 et je vous laisse compléter pour le chiffre 8.

Là encore on pourrait envisager d'effectuer les produits élémentaires de gauche à droite. C'est d'ailleurs ce qui se faisait sur les abaques et bouliers. On a donc 2 × 6 = 12, 3 × 6 + 120 = 138 et 4 × 6 + 1380 = 1404, puis 2 × 2 × 10 + 1404 = 1444, 3 × 2 + 1444 = 1450 et 4 × 2 + 14500 = 14508.

Multiplication égyptienne ou russe

Des camarades de classe m'ont appris il y a longtemps la multiplication égyptienne. Plus tard, d'autres sources m'ont montré que ce n'était pas exactement la multiplication égyptienne, mais la multiplication russe, également nommée « multiplication du paysan russe ». La multiplication égyptienne repose sur le même principe, mais avec une disposition différente. Supposons que l'on veuille multiplier 628 par 234. On place les deux nombres côte à côte (avec suffisamment d'espace). Puis on divise par deux le nombre de gauche et on multiplie par deux le nombre de droite, jusqu'à obtenir le nombre 1.

234     628
117    1256
 58    2512
 29    5024
 14   10048
  7   20096
  3   40192
  1   80384

Ensuite, sur chaque ligne, lorsque le nombre de gauche est pair, on raie le nombre de droite.

Et on fait la somme des nombres restants

On peut considérer que les divisions par deux et les multiplications par deux soient suffisamment simples pour ne pas avoir à les poser ainsi :

234|2        628     117|2      1256
03 |---        2      17|--        2   etc
 14|117     ----       1|58     ----
  0|        1256                2512

Mais même avec cette simplification, c'est long. Cela revient à faire une multiplication en binaire, même si vous travaillez en décimal ou en hexadécimal. J'ai presque laissé tomber, mais finalement, j'ai décidé de l'inclure dans le module.

Une autre difficulté. La méthode repose sur le fait que l'on dispose d'un critère simple pour déterminer si un nombre est pair ou impair. En base 10, c'est facile, il suffit de jeter un coup d'œil au chiffre des unités. Si le chiffre est pair, le nombre est pair. Si le chiffre est impair, le nombre est impair. Ce critère est valable pour n'importe quelle base de numération paire, mais pas pour les bases de numération impaires. Il faut trouver autre chose.

En base 10, le critère de divisibilité par 3 ou par 9 consiste à faire la somme des chiffres. Si le nombre obtenu se constitue de plusieurs chiffres, on itère le processus. Lorsqu'il ne reste plus qu'un seul chiffre, on peut conclure. Si c'est 3, 6 ou 9, le nombre initial est divisible par 3. Si c'est 9, le nombre initial est divisible par 9. C'est le même principe en base 9 pour la divisibilité par 2, 4 et 8. C'est le même principe en base 11 pour la divisibilité par 2, 5 et A et c'est le même principe en base 13 pour la divisibilité par 2, 3, 4, 6 et C.

Prenons par exemple, le nombre 45269 en base 11. La somme de ses chiffres est 26 en base 10 ou 24 en base 11. Une deuxième itération donne la somme 2+4 = 6, qui est un chiffre pair. 45269 est donc un nombre pair. Heureusement, d'ailleurs, car il s'agit de 65536 en base 10. Mais 45269 n'est pas divisible par 5 ni par A (10 en base 10).

De même, pour 45268, la somme des chiffres est 25 en base 10, soit 23 en base 11 pour la première itération, et 5 pour la seconde itération. Donc 45268 (soit 65535 en base 1) est un nombre impair divisible par 5.

Si la base de numération b est impaire, 2 est automatiquement un diviseur de b-1. Donc la méthode de la somme des chiffres fonctionne pour toutes les bases de numération impaires.

Dans le cas de la divisibilité par 2, le critère peut être simplifié. Dans le nombre, on compte les chiffres impairs et on ne s'occupe pas des chiffres pairs. Il n'y a même plus besoin de les additionner, il suffit de les compter. Si le compte est pair, le nombre est pair. Si le compte est impair, le nombre est impair. En reprenant l'exemple ci-dessus, le nombre 45269 en base 11 contient deux chiffres impairs, 5 et 9. Il est donc pair. Quand au nombre 45268 en base 11, il contient un seul chiffre impair, il est donc impair.

Division

Division standard

Lorsque j'ai appris la division standard, le calcul des restes intermédiaires se faisait avec une opération combinant une multiplication et une soustraction : multiplication du diviseur par le chiffre du quotient et soustraction de ce résultat au dividende partiel. Longtemps après, j'ai entendu dire que cette multiplication et cette soustraction étaient séparées. Je me suis renseigné en consultant des tutoriels pour savoir quelle était précisément la méthode utilisée : prépare-t-on la division en calculant les 10 premiers multiples du diviseur, ou bien effectue-t-on les multiplications au fil de l'eau selon les besoins ?

Dans ces deux tutoriels, les auteurs supposent que l'élève connaît par cœur les multiples du diviseur (la table des 52 dans un cas et la table des 35 dans l'autre cas). Cela me semble irréaliste. Un point annexe, pour le premier tutoriel : les nombreuses pauses entre les phrases et le fait que l'on ne tienne pas compte du cas particulier du zéro m'incitent à penser que cette vidéo a été générée par un logiciel analogue au mien (avec un format de sortie MPEG ou MP4 au lieu de HTML). Ce n'est pas en soit un défaut.

Dans ce tutoriel, il est clairement dit que l'on commence par calculer la table des 23 ou des 16 (ou plus généralement la table des multiples du diviseur). Également, ce tutoriel précise qu'il n'y a pas une seule méthode orthodoxe de division, il y en a plusieurs, c'est à chacun de choisir une méthode et de s'exercer à son utilisation.

Ce tutoriel, est lui aussi intéressant. On y retrouve le « harponnage » (présenté plus en détail ci-dessous). Ce harponnage est fait avec des traits courbes et il est appelé « chapeau » ou « parapluie » alors que j'ai appris à tracer ce harponnage avec des traits droits et je ne me souviens pas du nom que j'ai appris à l'origine. Un autre point intéressant dans ce tutoriel est le mécanisme essai-et-erreur, consistant à calculer un premier chiffre possible avec une division 1-par-1 ou 2-par-1 et à le décrémenter en boucle tant que l'on trouve une erreur. Un dernier point intéressant est la vérification à chaque étape. Chaque fois que l'on obtient un chiffre pour le quotient, on compare le reste intermédiaire au diviseur. Si le reste est inférieur au diviseur, il n'y a a priori pas de problème. Si le reste intermédiaire est supérieur ou égal au diviseur, alors il y a assurément un problème de calcul. J'ai appris à faire cette vérification, mais j'ai choisi de ne pas l'implémenter dans le module.

Et finalement un tutoriel qui enseigne la division telle que je l'ai apprise ou presque, en combinant la multiplication et la soustraction. Il y a même le harponnage, avec, comme ci-dessus, des traits courbes alors que j'ai appris à le faire avec des traits droits. Une autre différence marquante est que les retenues sont écrites puis barrées, alors que j'ai appris à les conserver dans ma mémoire.

La conclusion de tout cela est que je ne dois pas décider par moi-même quelle est la solution othodoxe, mais je dois fournir des paramètres permettant à l'utilisateur de choisir quelle variante il préfère générer.

« Harponnage » dans la division standard

Un point qui mérite peut-être d'être signalé, c'est le « harponnage » de la première ligne. Notons en préalable qu'il ne s'agit pas d'un terme officiel. C'est un terme que j'ai pioché lorsque j'ai commencé à écrire le module et sa documentation. Dans un tutoriel que j'ai consulté ultérieurement, c'était appelé « chapeau » ou « parapluie ». Je ne me souviens plus s'il y avait un nom particulier lorsque j'ai appris les divisions dans les années 1960-1970.

On ne voit pas le harponnage dans l'exemple du 2 décembre 1970 au début de cette documentation, mais on peut le voir dans les exemples ci-dessous.

image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_division_hooks_png not found

Tout d'abord, une précision sur la division du centre, « 27000 ÷ 250 ». Il y a une simplification par 10, pour obtenir la division « 2700 ÷ 25 », plus rapide à calculer. C'est pour cela que le harponnage se produit sur la deuxième ligne dans ce cas.

Le harponnage simple sert à repérer l'endroit du dividende où l'on soustraira le premier chiffre du premier reste intermédiaire. Ainsi, lorsque l'on divise 270 par 25 ou par 18, le premier chiffre du premier reste sera sous le « 7 ».

Le harponnage double a la même utilité et en plus, il sert à déterminer la portion du dividende qui servira à effectuer la division mentale avec le diviseur réduit à un seul chiffre. Ainsi, pour diviser 2700 par 25, la première évaluation se fera avec « 2 ÷ 2 » et la soustraction du reste se fera sous le « 7 ». Pour diviser 11340 par 108, la première évaluation se fera avec « 1 ÷ 1 » et la soustraction du premier reste se fera sous le « 3 ». Et pour diviser 2700 par 375, la première évaluation se fera avec un dividende à deux chiffres, c'est-à-dire « 27 ÷ 3 » et la soustraction du premier reste se fera sous le deuxième « 0 ».

On peut voir que le double harponnage du dividende s'accompagne du harponnage du diviseur, invariablement sur un chiffre. Le harponnage du diviseur n'a aucun intérêt et je ne l'ai pas repris dans la méthode division.

Le harponnage est visible également dans ces deux tutoriels, où il est utilisé pour tous les dividendes partiels et non pas seulement pour le premier. À mon avis, le harponnage n'est réellement utile que sur la première ligne où le premier dividende partiel est noyé dans le dividende complet, tandis que sur les lignes suivantes on voit très bien où se termine le dividende partiel. En outre, dans les divisions où la multiplication et la soustraction sont séparées, le tracé du harpon serait en conflit avec le tracé du trait de la soustraction.

Mes expériences pour utiliser un caractère Unicode de combinaison pour créer un surlignement n'ont pas réussi. J'ai donc biaisé en soulignant les caractères espaces sur la ligne juste au-dessus. Cela ne permet pas de montrer le crochet (ou les crochets pour un double harponnage), mais tant pis.

Division et calcul du PGCD

En 1978, le professeur de math nous a appris à poser la division en écrivant le quotient au-dessus du diviseur et non pas au-dessous. Ci-dessous, vous voyez à gauche la disposition traditionnelle et à droite la nouvelle disposition.

                                   3141592
                                   ---
 355000000|113           355000000|113
 0160     |---           0160     |
  0470    |3141592        0470    |
   0180   |                0180   |
    0670  |                 0670  |
     1050 |                  1050 |
      0330|                   0330|
       104|                    104|

Pourquoi cette nouvelle disposition ? Parce que le professeur de math nous a également appris l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD de deux nombres. Le calcul se fait par divisions successives. Le dividende de la deuxième division est le diviseur de la première division. Sous ce nombre, on devrait trouver à la fois le quotient de la première division et les restes intermédiaires de la deuxième division. Ce n'est pas possible d'avoir ces nombres à la même place sur le papier, l'un d'eux doit bouger. C'est pour cela que le quotient est écrit au-dessus du diviseur. Voici ce que cela donne si l'on veut calculer le PGCD de 350000000 et de 113 :

          3141592 1   14 1
          ---     --- -- -
355000000|113    |104|7 |6
0160     |  7    | 34|1
 0470    |          6|
  0180   |
   0670  |
    1050 |
     0330|
      104|

L'algorithme d'Euclide effectue les opérations suivantes :

355000000 ÷ 113 = 3141592, reste 104
113 ÷ 104 = 1, reste 7
104 ÷ 7 = 14, reste 6
7 ÷ 6 = 1, reste 1

Division standard et dissociation de la multiplication et de la soustraction

Il y a eu un bug dans la division standard, si vous choisissiez de séparer la multiplication et la division lors du calcul des restes intermédiaires. Le bug est corrigé, mais il mérite d'être rappelé, car il a eu comme résultats une restriction dans l'API. Prenons l'exemple de la division 724 ÷ 16.

--
724|16
   |--
   |..

Le chiffre des dizaines est calcué avec 72 ÷ 16. Pour ce faire, la première proposition est 7 ÷ 1 = 7. La division devient :

--
724|16
   |--
   |7.

Le produit intermédiaire est 7 × 16 = 112, que l'on écrit sous la partie « harponnée » 72, en alignant sur la droite. Cela donne :

 --
 724|16
112 |--
    |7.

Le chiffre proposé est trop fort, donc on le remplace par 6 et on efface le produit intermédiaire. En fait, seuls les caractères sous le dividende 724 sont effacés (les chiffres 12 et l'espace qui suit). Cela donne :

 --
 724|16
1   |--
    |6.

Le calcul du produit intermédiaire est alors :

 --
 724|16
196 |--
    |6.

En poursuivant la division, le même problème se produit avec le calcul du chiffre des unités. La division finale est :

 --
 724|16
164 |--
 -- |45
  84|
 180|
  --|
   4|

En fait, non, le problème ne se produit pas pour les chiffres suivants, seulement pour le premier. Dans un but de simplification du code, lorsque j'ai besoin d'effacer un produit intermédiaire (dans le cas de multiplication et soustraction séparées) ou un reste intermédiaire (dans le cas de multiplicaton et soustraction combinées), l'effacement se produit sur la totalité de la ligne. Dans l'exemple ci-dessous, l'effacement se produit sur les cinq colonnes correspondant au dividende 72426, même si à chaque fois le produit intermédiaire ne fait que 2 ou 3 chiffres.

 --
 72426|16
164   |--
 --   |4526
  84  |
  80  |
  --  |
   42 |
   32 |
   -- |
   102|
    96|
   ---|
    06|

Pour les divisions individuelles, le bug a été corrigé, en effaçant « un chiffre de plus ». Pour la conversion de base et pour le calcul du PGCD, il est impossible de le corriger. Prenons le calcul du PGCD de 2912 et 724. La première division est :

     4
     ---
2912|724
2896|
----|
  16|

La division suivante est initialisée avec :

     4   ..
     --- --
2912|724|16
2896|   |
----|   |
  16|

Comme on l'a vu ci-dessus, la première proposition de chiffre est 7 et le produit intermédiaire est 112. Comment écrivez-vous ce produit dans la deuxième division? Le chiffre des centaines déborde dans l'espace réservé à la première division, ce qui transforme 2896 en 2891 :

     4   7.
     --- --
2912|724|16
2891|12 |
----|   |
  16|

Lorsque nous passons à la proposition suivante 6, nous pouvons soit effacer deux chiffres (et l'espace sous le chiffre 4), soit en effacer trois (et l'espace). Dans les deux cas, cela donnera un résultat incorrect :

     4   45 4           4   45 4
     --- -- -           --- -- -
2912|724|16|4      2912|724|16|4
2891|64 |16|       289 |64 |16|
----|-- |--|       ----|-- |--|
  16| 84| 0|         16| 84| 0|
    | 80|              | 80|
      --|                --|
       4|                 4|

La solution consiste donc à éviter de nous retrouver dans une situation inextricable. Donc, dans le cas de la conversion de base et dans le cas du calcul du PGCD, lorsque l'on choisit le type de division "std", alors il est interdit d'attribuer la valeur "separate" au paramètre mult-and-sub.

Division « bateau » (`boat`)

Comme vous avez pu le constater sur les exemples présentés au début, la division à la mode de 1822 a la forme générale d'un losange ou d'un hexagone, en fonction des longueurs respectives du dividende et du diviseur.

Comme le terme « hexagone » pouvait prêter à confusion avec « hexadécimal », j'ai nommé initialement ce type de division d'après le losange, soit rhombic, du terme rhombus utilisé en anglais pour le losange.

Ultérieurement, j'ai relu les pages 330 et 331 de NWNS et j'ai noté une remarque que j'avais négligée lors de mes précédentes lectures. Les Italiens comparaient la forme de cette division à un bateau ou une galère avec la voile levée. Donc leur expression était divisione per batello ou divisione per galea. J'ai choisi l'équivalent anglais "boat" au lieu de "rhombic".

Comment ai-je fait pour deviner le mécanisme ? Lorsque l'on trouve comment aborder le problème, c'est très simple. Pour aborder le problème, j'ai simplement repris l'une de ces divisions et je l'ai refaite avec le mécanisme que je connaissais. Exemple concret :

      13            -----
     1421           34048000|25882
    040157          081660  |-----
   08166480          040140 |1315
   34048000{1315      142580|
   --------            13170|
   25882222
    258888
     2588
      25

J'ai cherché si je trouvais des points communs entre les deux divisions. Et effectivement, il y en a, quand on observe bien. Par exemple, le deuxième dividende partiel 081660 :

ou bien le troisième dividende partiel 040140 :

J'en ai déduit que la division en cours, après avoir abaissé le premier chiffre, puis le deuxième, aurait ressemblé à ceci, avec une grosse interrogation en-dessous du trait :

Comme le premier dividende partiel 34048 est barré et comme le deuxième dividende partiel 081660 se lit en deux mouvements, un premier mouvement horizontal puis un mouvement oblique, j'ai supposé qu'il en allait de même pour le diviseur, écrit deux fois dont une première occurrence barrée et une seconde occurrence que l'on peut lire en deux mouvements, un horizontal et un oblique.

Néanmoins, il y avait des écueils à éviter. Tout d'abord, il aurait pu y avoir des erreurs de calcul. En fait je n'en ai pas trouvé. Ensuite, il aurait pu y avoir des erreurs mineures, qui témoignent d'une mauvaise application du mécanisme sans pour autant produire un résultat incorrect. C'est le cas avec l'autre division présentée en exemple. La voici en regard avec sa version en potence, avec séparation de la multiplication et de la soustraction, pour bien montrer le léger problème de mécanisme.

   04            -----
  1085           24696000|25882
 140217          00000   |-----
24696202         -----   |0954
24696000{0954    246960  |
--------         232938  |
25882222         ------  |
 258888           140220 |
  2588            129410 |
   25             ------ |
                   108100|
                   103528|
                   ------|
                    04572|

Dans cette division, l'élève a mal aligné le dividende et le diviseur, ce qui a engendré un premier chiffre à zéro pour le quotient et une soustraction inutile et (légèrement) chronophage.

C'est bel et bien une erreur, car à une autre page, l'élève a correctement décalé la première occurrence du diviseur par rapport au dividende, pour avoir un premier chiffre différent de zéro dans le quotient. On voit que le « 8 » de « 87 » est inscrit en regard du « 4 » de « 14076 » et non pas en regard du « 1 ».

image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_boat_with_shift_webp not found

Remarque : dans cette division, l'élève a continué en calculant les centimes. Les chiffres correspondant aux restes intermédiaires figurent dans l'opération (mais pas dans ma transcription). Mais l'opération ne contient pas les chiffres de la quatrième et de la cinquième occurrences du diviseur.

Un autre écueil à éviter est de choisir une division avec trop peu de chiffres différents. Voici un exemple de division qui ne m'aurait pas permis de retrouver le mécanisme.

image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_boat_and_gallows_webp not found

Comme vous pouvez le remarquer, à la droite de la division en mode « bateau », on retrouve la même division en mode « potence », avec un commentaire écrit par un camarade de classe de l'élève de 1822 (désolé pour les fautes d'orthographe).

Voila comme on la fait en dessus et sans bârer les chiffres

Comme vous pouvez le constater, parmi les restes intermédiaires, il y a peu de chiffres différents de zéro, ce qui rend difficiles les comparaisons entre le « bateau » et la « potence ».

Racine carrée

L'algorithme d'extraction des racines carrées est présenté dans HAL pages 234 à 237. Il y a une première description pour un abaque (table à calcul ou boulier) et une seconde, appelée « disposition pratique des calculs ». Voici ce que cela donne.

6554900|2
255    |---
       | c(c+40)<255

6554900|25
255    |---
 3049  | 5(5+40)<255
       | c(c+500)<3049

6554900|256
255    |---
 3049  | 5(5+40)<255
   1300| 6(6+500)<3049
       | c(c+5120)<1300

Contrairement au titre qui lui a été attribué, cette disposition n'est pas aussi pratique que cela. Comment calculer simplement l'expression c(c+40) pour c=6 puis pour c=5 ? Idem pour l'expression c(c+500) pour c=6. Alors qu'avec la disposition que j'ai apprise en 1976,

6554900|2
255    |---
       |46
       | 6

6554900|2
255    |---
       |45
       | 5

6554900|25
255    |---
 3049  |45
       | 5
       |---
       |506
       |  6

les opérations 6×46, 5×45 et 6×506 sont des calculs très semblables aux calculs des restes intermédiaires dans une division. Donc une partie de la mécanique d'extraction nous était déjà connue. De plus, au lieu de doubler 25 puis de le multiplier par 10 pour obtenir 500, puis de doubler 256 et de le multiplier par 10 pour obtenir 5120, il nous suffisait de faire la somme 45+5 puis la somme 506+6 et dans les deux cas, de leur coller le chiffre à essayer.

C'est pourquoi je me contente de la disposition que j'ai apprise en 1976 et je laisse tomber la disposition présentée dans HAL page 237.

À propos, HAL assure que l'extraction des racines carrées par la méthode de la potence a été enseignée en France jusque dans les années 1960. Or c'est en 1976 que j'ai appris cette technique.

Implémentation

Coordonnées

Les coordonnées sont le numéro de ligne et le numéro de colonne. Le sens de variation est le sens habituel. Le numéro de ligne croît du haut vers le bas et le numéro de colonne croît de la gauche vers la droite. Comme il est difficile de déterminer a priori la place occupée par certaines opérations (multiplication « bateau », notamment), on pourra avoir des coordonnées négatives s'il y a besoin d'insérer une nouvelle ligne au-dessus de l'opération ou insérer une nouvelle colonne à gauche.

Cela nous conduit à la distinction entre coordonnées logiques et coordonnées physiques. Le générateur de HTML utilise des coordonnées l-c positives ou nulles, appelées « coordonnées physiques ». Les coordonnées déterminées par les différents constructeurs d'opérations sont les « coordonnées logiques ». Le générateur de HTML détermine quelles sont la valeur minimale des lignes logiques et celle des colonnes logiques pour déterminer la façon de calculer les coordonnées physiques à partir des coordonnées logiques.

Une autre source d'écart entre coordonnées physiques et logiques est les traits verticaux. Les traits verticaux sont matérialisés par des caractères « pipe », qui sont des caractères à part entière, par opposition aux traits horizontaux qui sont matérialisés par un attribut « souligné » pour les caractères juste au-dessus du trait. Cela veut dire qu'il faut réserver une coordonnée colonne physique pour les traits verticaux. Cela conduit donc à un écart supplémentaire pour les coordonnées colonnes.

Exemple (sachant que je n'ai pas réussi à générer des soulignés, le 31 devrait être sur la même ligne que le 160, les coordonnées lignes ne sont donc pas significatives)

+--------------- logique = -8, physique =  0
|       +------- logique =  0, physique =  8
|       |+------ logique =  0, physique =  9
|       ||+----- logique =  1, physique = 10
|       ||| +--- logique =  3, physique = 12

355000000|133
0160     |---
 057     |31

Pour une chaîne de caractères, les coordonnées sont celles du dernier caractère (en général le chiffre des unités s'il s'agit d'un nombre). Par exemple, ci-dessus, les coordonnées logiques du dividende sont l=0, c=0 et les coordonnées du diviseur sont l=0, c=3. Pour un trait vertical, la coordonnée colonne est la même que celle du caractère immédiatement à sa gauche. Pour un trait horizontal, la coordonnée ligne est la coordonnée des caractères qui apparaîtront soulignés.

Feuille de papier

La classe principale, Arithmetic::PaperAndPencil, représente une feuille de papier (ou deux dans le cas d'une division préparée). Pour l'instant, le seul attribut de cette classe est une liste d'actions, Arithmetic::PaperAndPencil::Action.

Actions

Une action consiste, la plupart du temps, à :

lire un ou deux chiffres déjà marqués,
éventuellement, les barrer,
effectuer un calcul avec ces deux chiffres,
prononcer ce calcul à haute voix,
écrire le résultat sur la feuille de papier.

Parfois, une action consiste simplement à tirer un trait, sans rien dire. Ou bien, recopier toute une série de chiffres contigus (cas des multiplications avec raccourcis ou des divisions préparées). Ou bien encore, à effacer une série de chiffres contigus.

Les attributs de la classe Arithmetic::PaperAndPencil::Action sont donc :

level niveau de l'action, voir ci-dessous.
label code de la formule consacrée accompagnant certains calculs ou certaines actions,
val1, val2, val3 valeurs à insérer dans le message
r1l et r1c coordonnées logiques du premier chiffre lu,
r1val valeur du premier chiffre lu,
r1str indicateur signalant si le premier chiffre lu a été biffé,
r2l, r2c, r2val, r2str l'équivalent pour le deuxième chiffre lu,
w1l, w1c, w1val l'équivalent pour le premier chiffre écrit,
w2l, w2c, w2val l'équivalent pour le deuxième chiffre écrit,

Exemple, pour l'action suivante :

        c → 0 123456 7     0 123456 7

l → 0         6 2 8          6 2 8
             --------       --------
    1        | / / /|       |1/ / /|
    2        |/ / / |2      |/2/ / |2
    3        | / / /|    →  | / / /|
    4        |/ / / |3      |/ / / |3
    5        | / / /|       | / / /|
    6        |/ / / |4      |/ / / |4
             --------       --------
    7

L'action correspondante est constituée de :

level = 5 (voir ci-dessous)
label = MUL01 code pour le message "#1# fois #2#, #3#"
val1 = 6, val2 = 2, val3 = 12 pour un message final "6 fois 2, 12"
r1l = 0, r1c = 1, r1val = 6, r1str = False
r2l = 2, r2c = 7, r1val = 2, r1str = False
w1l = 1, w1c = 1, w1val = 1
w2l = 2, w2c = 2, w2val = 2

Deuxième exemple, avec une chaîne au lieu de chiffres isolés :

        c → 0123456      0123456 7

l → 1          628          628
    2          333   →      333
              ----         ----
    3         1884         1884
    4            .        1884.

L'action correspondante est constituée de :

level = 3 (voir ci-dessous)
label = WR05 code pour "Je recopie la ligne #1#"
val1 = 1884 pour le message final "Je recopie la ligne 1884"
w1l = 4, w1c = 4, w1val = 1884, la colonne correspond au dernier caractère de la chaîne.
autres attributs : peu importe

Lorsque l'on trace une ligne, le code du message commence par DR (comme l'anglais draw). En général, cela ne correspond pas à un véritable message, car on n'a pas l'habitude de commenter le tracé d'une ligne. Les coordonnées des extrémités sont données dans w1l, w1c, w2l et w2c. Exemple :

        c → 0 123456 7     0 123456 7

l → 0         6 2 8          6 2 8
             --------       --------
    1        |      |       |     /|
    2        |      |2      |    / |2
    3        |      |    →  |   /  |
    4        |      |3      |  /   |3
    5        |      |       | /    |
    6        |      |4      |/     |4
             --------       --------
    7

level = 5 (voir ci-dessous)
label = DRA04 code pour le tracé d'une ligne oblique
w1l = 1, w1c = 6
w2l = 6, w2c = 1
autres attributs : peu importe

Champ `level`

Le champ level permet de déterminer quand les méthodes d'affichage incluent l'opération en cours de constitution. Plus la valeur est élevée, plus fréquemment l'opération partielle sera affichée. Les valeurs sont :

0 affichage uniquement à la fin de l'opération.
1 affichage également lors d'un changement de page (cas des multiplications préparées et des divisions préparées).
2 affichage lors d'un changement de phase. Pour les multiplications, par exemple, il y a trois phases : la mise en place, le calcul des produits partiels et l'addition finale.
3 traitement complet d'un chiffre. Pour les divisions, il s'agit de l'ajout d'un chiffre au quotient, avec en corollaire l'ajout d'un reste intermédiaire. Ce mécanisme se faisant par essais et erreurs, le niveau 3 est déclenché lors du dernier essai, celui qui est fructueux.
4 pour les méthodes avec essais et erreur, comme la division, ce niveau conclut un essai aboutissant à une erreur.
5 pour l'écriture de chaque chiffre d'un produit partiel ou d'un reste partiel.
6 calcul intermédiaire sans écriture.

Dans le cas de la conversion d'une base à une autre par le schéma de Horner, l'opération complète comporte plusieurs multiplications élémentaires en alternance avec des additions élémentaires. Les niveaux de ces multiplications et additions élémentaires sont décalées par rapport aux niveaux utilisés dans une multiplication ou une addition isolée. Par exemple, le niveau 2, changement de phase, devient le niveau 5, le niveau 3, traitement complet d'un chifre, devient le niveau 6 et ainsi de suite.

Pour une action donnée, la valeur de level dépend de la nature de cette action, mais aussi de celle de l'action suivante. Ainsi, il est possible d'avoir une action WRI01 de niveau 0, si c'est la dernière action de l'opération ou si elle est suivie d'une action TITnn.

Codes actions particuliers

Ces codes ne sont pas directement liés à la résolution d'une opération. Ce sont des actions utilitaires.


Code	Explication
DRA01	Ligne verticale
DRA02	Ligne horizontale
DRA03	Ligne oblique, représentée par des backslashs
DRA04	Ligne oblique, représentée par des slashs
ERA01	Effacement de caractères
HOO01	Crochet sur un dividende
NXP01	Changement de page
TITnn	Titre pour une opération

Pourquoi quatre codes actions différents pour les lignes ? N'aurait-il pas été plus judicieux de déterminer l'orientation de la ligne en vérifiant si w1c == w2c (donc la ligne est verticale) ou si w1l == w2l (donc la ligne est horizontale) ? Non, car il y a le cas des lignes n'occupant qu'une case. Pour de telles lignes, on a à la fois w1c == w2c, w1l == w2l, w1c - w2c = w1l - w2l et w1c - w2c == w2l - w1l, donc on ne sait pas s'il faut écrire un seul caractère pipe, un seul slash ou un seul backslash ou bien s'il faut positionner l'indicateur de soulignement pour un seul caractère.

Le crochet sur un dividende sert à repérer la coordonnée colonne du premier reste intermédiaire. Au début, j'avais l'intention d'utiliser le caractère U+0305 (COMBINING OVERLINE), mais mes essais n'ont pas été concluants. C'est donc juste une variante de DRA02.

Remarques diverses

Parmi les conseils pour l'écriture des programmes, il y a le conseil proscrivant l'utilisation de valeurs numériques dites « magiques ». Il faut les remplacer par des constantes symboliques avec un nom en clair. Je n'ai pas cherché à appliquer ce conseil. Néanmoins, j'ai écrit à quelques occasions :

  my $zero = Arithmetic::PaperAndPencil::Number.new(:radix($radix), :value<0>);
  my $one  = Arithmetic::PaperAndPencil::Number.new(:radix($radix), :value<1>);

Cela allège et cela simplifie la suite des fonctions concernées.

    given $result {
      when 'quotient'  { return $zero; }
      when 'remainder' { return $dividend; }
      when 'both'      { return ($zero, $dividend); }
    }
    [...]
          $act-quo ☈-= $one;

Pour mémoire, il est assez fréquent que ce conseil soit détourné de son but légitime.

Possibilités laissées de côté

Ce texte sert à commenter ce que j'ai fait, mais aussi ce que je n'ai pas fait.

Fonctionnalités laissées de côté

Nombres à virgule

Au tout début, j'avais envisagé de faire des calculs avec des nombres à virgule. Je pense que cela aurait nécessité l'ajout de nombreuses lignes de code, pour un gain mineur. Les nombres dans ce module sont donc des nombres entiers.

Preuve par 9

Mon livre de calcul des années 1960 contenait une leçon sur la preuve par 9, mais mon instituteur refusait de nous l'enseigner. La preuve par 9 peut prouver qu'il y a une erreur de calcul, vraisemblablement dans l'opération, mais éventuellement dans la preuve elle-même. À l'inverse, elle ne peut pas prouver que l'opération est correcte. Elle peut tout au plus suggérer que l'opération pourrait être correcte. Il est très facile d'obtenir un faux positif, il suffit d'écrire un chiffre dans une mauvaise colonne et le tour est joué.

Je n'ai pas appris la preuve par 9 (officiellement), donc je ne l'implémente pas dans mon module.

Bouliers

Pendant un certain temps, j'ai envisagé d'inclure le calcul sur un boulier de type Suan Pan ou Soroban. Comme la visualisation était à refaire complètement, et comme les méthodes de calcul sur boulier avaient assez peu de points communs avec les méthodes papier + crayon, j'ai abandonné cette idée. Si nécessaire, cela fera partie d'un module séparé. Module écrit par quelqu'un d'autre selon toute vraisemblance.

D'un autre côté, certaines variantes lues dans NWNS ou dans HAL et codées dans le module pourraient être des méthodes utilisées sur les bouliers et adaptées par l'auteur du livre pour l'impression sur papier.

Multiplication en croix

Cette méthode est brièvement décrite dans NWNS pages 441 et 442. K. Menninger donne un exemple pour le produit de deux nombres à deux chiffres et signale lapidairement que cette méthode peut s'étendre, avec difficulté, à deux nombres à quatre chiffres. Soit à calculer 34 × 78. On pose les nombres ainsi :

3 4
|×|
7 8

Le calculateur multiplie les unités, « 4 × 8 = 32, je pose 2 et je retiens 3 ». Puis il multiplie les chiffres en croix et additionne les résultats avec la retenue : « 3 fois 8, 24, 7 fois 4, 28, 24 et 28 font 52, et 3 font 55, je pose 5 et je retiens 5 ». Puis il multiplie les chiffres des dizaines : « 3 fois 7, 21, et 5, 26 ». Le résultat final est donc 2652.

Cette méthode est prévue pour des facteurs de 4 chiffres au maximum, alors que mon but est de présenter des multiplications de longueur quelconque. D'autre part, elle nécessite d'additionner mentalement des nombres à deux chiffres, comme 24 et 28 dans l'exemple, alors que j'ai décidé de limiter les additions mentales pour qu'un nombre au moins ait un seul chiffre. Je laisse donc cette variante de côté.

Autres opérations arithmétiques

Le but primaire du module est de présenter le calcul d'une racine carrée. Il va de soi que le module aurait été incomplet s'il n'y avait pas eu les quatre opérations de base, addition, soustraction, multiplication et division. En plus de cela, on peut envisager la décomposition en facteurs premiers, la conversion d'une base à une autre soit par calcul d'un polynôme avec le schéma de Horner, soit par des divisions successives et enfin le calcul du PGCD également avec des divisions successives, c'est-à-dire l'algorithme d'Euclide. J'ai définitivement abandonné la décomposition en facteurs premiers, j'ai définitivement décidé d'inclure la conversion par le schéma de Horner et par divisions en cascade, ainsi que le calcul du PGCD.

Pour mémoire, la décomposition en facteurs premiers de 28, par exemple, donne :

Avec, sur des feuilles séparées, la division de 28 par 2, de 14 par 2, de 7 par 2 (avec un reste), de 7 par 3 (avec un reste), de 7 par 5 (avec encore un reste) et de 7 par 7 (pas de reste, ouf !). Comme cela nécessite de nombreuses feuilles séparées, la visualisation n'est pas très commode et j'ai abandonné cette idée.

Dans NWNS à la page 442, K. Menninger décrit encore un autre type de multiplication, la multiplication par facteurs. Il prend l'exemple de la multiplication 23 × 14. La première étape de cette multiplication consiste à multiplier 23 par 2, ce qui donne 46 et la seconde étape consiste à multiplier 46 par 7, ce qui donne 322. Cette méthode nécessite d'avoir un multiplicateur avec des facteurs premiers suffisamment petits et elle requiert une extraction des facteurs premiers avant de commencer la multiplication. J'ai donc laissé cette méthode de côté.

Bases de numération 37 et au-delà

J'ai posé la limite à la base de numération 36, parce que notre alphabet comporte 26 lettres, que l'on peut ajouter aux 10 chiffres. Il est donc impossible d'aller au-delà de la base 36 avec ce système. Or, il existe deux bases importantes, la base 60 (pour les heures, minutes, secondes et pour les degrés, minutes d'angle et secondes d'angle) et la base 256 (pour les adresses IPv4, entre autres). C'est seulement après avoir commencé l'écriture du module que je me suis rappelé que l'on peut représenter un nombre en base 60 ou en base 256 avec les dix chiffres de 0 à 9. Il y a la notation pointée et il y a la notation que j'appellerai « codé décimal » (par analogie avec le DCB, décimal codé binaire).


domaine	base 10	notation pointée	codé décimal
heure	71120	19:45:20	194520
heure	68585	19:3:5	190305
IPv4	2130706433	127.0.0.1	127000000001
IPv4	3232235777	192.168.1.1	192168001001

Comme vous pouvez le voir, la notation pointée utilise un séparateur qui est habituellement le point, mais qui peut être un autre caractère, comme le deux-points pour les heures. Vous avez peut-être été surpris par la notation "codé décimal" de l'adresse IPv4 et par la notation en base 10. La notation en base 10 est très peu utilisée, mais elle est parfaitement valide. Vous pouvez très bien demander l'adresse http://3232235777 sur votre navigateur. Ou bien vous pouvez pinguer l'adresse 2130706433. En revanche, la notation "codé décimal" n'est pas utilisée, mais cela pourrait se faire. Le gros problème à résoudre est qu'il y a une ambiguïté entre la notation en base 10 et la notation "codé décimal".

J'ai laissé tomber d'autres variantes de bases de numération. Il y a les bases mixtes, comme la base 20-18 utilisée dans le compte long du calendrier maya, ou la base factorielle, présentée dans xkcd. Il y a également la base i-1 créée par W. Penney et présentée par D.E. Knuth dans le chapitre 4 de The Art of Computer Programming (pages 189 et 190), qui utilise seulement les chiffres 0 et 1 et qui permet de couvrir tous les points à coordonnées entières dans le plan complexe et non pas seulement sur la demi-droite des nombres positifs. Et il y a le système ternaire équilibré, un système en base 3, mais utilisant les chiffres 0, 1 et « 1-barre », ce dernier ayant une valeur négative (système présenté par D.E. Knuth pages 190 à 192).

Une dernière remarque. Habituellement, lorsque l'on mélange les lettres majuscules et les chiffres, on omet délibérément les lettres « O » et « I » au prétexte qu'elles ressemblent trop aux chiffres « 0 » et « 1 ». Voyez par exemple les plaques minéralogiques en France. Dans ce module, je les ai conservées. Et en fait, de la façon dont mon navigateur est configuré, j'ai plus de mal à différencier les « 8 » et les « B » qu'à différencier les « 0 » et les « O » ou les « 1 » et les « I ».

Extensions des opérations arithmétiques

Les opérations arithmétiques s'étendent à d'autres entités mathématiques, comme les vecteurs ou les matrices. Si les additions et les soustractions de matrices sont simples à comprendre, les multiplications sont plus évoluées et plus intéressantes. Néanmoins, cela ne colle pas au présent module. De même, les additions, soustractions et multiplications sur les polynômes sont aisées à comprendre, mais la division est plus intéressante à apprendre et, avec elle, l'extraction du PGCD avec l'algorithme d'Euclide. Comme pour les matrices, cela ne s'intègre pas dans le présent module. Ces opérations restent donc en dehors de ce module.

Choix techniques abandonnés

Structure de la classe `Arithmetic::PaperAndPencil::Action`

Reprenons l'exemple de l'action :

        c → 0 123456 7     0 123456 7

l → 0         6 2 8          6 2 8
             --------       --------
    1        | / / /|       |1/ / /|
    2        |/ / / |2      |/2/ / |2
    3        | / / /|    →  | / / /|
    4        |/ / / |3      |/ / / |3
    5        | / / /|       | / / /|
    6        |/ / / |4      |/ / / |4
             --------       --------
    7

L'instance correspondante de A::PP::Action est constituée de :

level = 5
label = MUL01 code pour le message "#1# fois #2#, #3#"
val1 = 6, val2 = 2, val3 = 12 pour un message final "6 fois 2, 12"
r1l = 0, r1c = 1, r1val = 6, r1str = False
r2l = 2, r2c = 7, r1val = 2, r1str = False
w1l = 1, w1c = 1, w1val = 1
w2l = 2, w2c = 2, w2val = 2

Initialement, j'avais prévu de représenter cela par 5 instances différentes de l'objet A::PP::Action :

lire le chiffre 6 du multiplicande (level = 6),
lire le chiffre 2 du multiplicateur (level = 6),
dire le message "6 fois 2, 12" (level = 6),
écrire le chiffre 1 du produit partiel (level = 6),
écrire le chiffre 2 du produit partiel (level = 5).

Chaque instance aurait contenu une seule coordonnée ligne, une seule coordonnée colonne et une seule valeur (sauf pour l'instance correspondant au message prononcé verbalement). Le tout avec d'autres codes que MUL01, tels que WRI00 (qui existe) et REA00 (qui aurait représenté une lecture).

Finalement, c'est mieux de tout mettre dans la même instance de A::PP::Action. Il reste encore un cas de figure où une action est découpée en deux instances. C'est le cas lorsqu'un calcul se conclut par « Je pose 2 et je retiens 1 ». Il y a une instance pour le message de calcul « 6 fois 2, 12 » avec la lecture des chiffres du multiplicateur et du multiplicande et il y a une instance pour le message « Je pose... » avec l'écriture du produit intermédiaire.

Bases de données

Au lieu d'utiliser des objets et des classes en mémoire vive, j'avais envisagé de stocker le tout dans des tables SQL. Cela aurait ajouté des problèmes d'infrastructure et de logisitique inutiles.

Formats de sortie

J'ai eu l'intention d'utiliser d'autres formats de sortie, en plus de HTML : texte seul, LATEX + Metapost, voire curses ou GIMP ou même un format vidéo (pourquoi pas, après tout). Il se peut qu'un jour ou l'autre je code le format LATEX + Metapost, mais les autres formats ne sont pas à l'ordre du jour.

Addition « en zigzag »

L'addition normale porte sur des nombres alignés à droite, c'est-à-dire alignés sur leur chiffre des unités. Par exemple :

Néanmoins, pour les besoins de la multiplication, j'avais envisagé une variante « en zigzag » de l'addition, les nombres n'étant plus alignés les uns avec les autres. Quelques exemples :

    2512       2512          2512
   1844      1844           1884
    1256       1256        1256
   -----     ------        ------
   22208     188168        146952

L'addition en zigzag aurait été une méthode privée, hors de l'API publique.

Finalement, j'ai trouvé un autre moyen, qui consiste à créer un tableau de listes où les chiffres figurent individuellement, sans lien avec leur nombre d'origine. Un avantage de ce nouveau moyen est qu'il est compatible avec les additions obliques des variantes jalousie-A et jalousie-B de la multiplication, ce qui n'était pas le cas de l'addition en zigzag.

Modules CSV et modules HTML

Je sais qu'analyser du HTML avec des regex n'est pas bien du tout. Or la méthode html du module Arithmetic::PaperAndPencil écrit une chaîne en pseudo-HTML, puis traite cette chaîne avec des regex pour générer du véritable HTML. Le point à retenir est que la première étape consiste à créer du pseudo-HTML, sans aucune fonctionnalité avancée telle que les attributs HTML, les commentaires HTML et ainsi de suite. Le pseudo-HTML est suffisamment simple pour pouvoir être traité avec des regex.

De la même manière, je n'ai pas trouvé de module d'analyse de CSV à ma convenance, donc j'ai écrit ma propre analyse de CSV avec des regex. D'un autre côté, je n'ai pas besoin des fonctionnalités évoluées telles que des chaînes entre guillemets, ou l'échappement des points-virgules et d'autres méta-caractères. Donc pour cette tâche, comme pour la conversion de pseudo-HTML en véritable HTML, j'ai utilisé des regex élémentaires.

Considérations diverses

Conversion d'un nombre de base 10 en base b

On connaît bien les premières décimales de π ou de e en base 10. Mais qu'en est-il en base 12, ou en base 16 ? Le module Arithmetic::PaperAndPencil permet de répondre à ces questions, mais avec quelques étapes pas forcément intuitives pour contourner certaines limites du module.

Prenons l'exemple de π et de la base 16. La première étape de la réflexion ne s'applique pas à la base 12, mais seulement à la base 16 (ainsi que la base 8 et la base 2). Raku, comme de nombreux langages de programmation, permet en quelque sorte une conversion de base de numération avec

$out = sprintf("%x", $in);

La contrainte étant que $in doit être un entier, ce qui n'est pas le cas de π (ou de e). Donc on biaise en utilisant

sub conv16-pi(Int $scale) {
  sprintf("%x",  π × 16 ** $scale);
}

Et en insérant la virgule décimale ou le point décimal après le chiffre « 3 » initial. Cette fonction est valide jusqu'à 13 chiffres après la virgule en base 16 mais les chiffres à partir du quatorzième sont tous à zéro, ce qui est erroné (le treizième est à zéro aussi, mais c'est normal). C'est dû au fait que la constante π est définie avec 15 chiffres décimaux après la virgule, ce qui correspond à environ 13 chiffres hexadécimaux après la virgule.

Rappel : une relation bien connue est « 2^10 ≈ 10^3 ». On en déduit aisément que « 16^5 ≈ 10^6 », donc une partie fractionnaire de 12 chiffres décimaux donnera une partie fractionnaire de 10 chiffres hexadécimaux corrects et une partie fractionnaire de 18 chiffres décimaux donnera une partie fractionnaire de 15 chiffres hexadécimaux corrects.

Cette solution, qui n'utilise pas Arithmetic::PaperAndPencil, est invalide au-delà du treizième chiffre fractionnaire et, de plus, elle est inapplicable pour les autres bases de numération (sauf cas particuliers, 2 et 8).

Le module Arithmetic::PaperAndPencil permet de dépasser cette limite. On a recours à deux facteurs de mise à l'échelle et à trois variables

$factor16 qui vaut « 16^n1 »,
$factor10 qui vaut « 10^n2 »,
$pi-x10 qui vaut « π × $factor10 »,
$pi-x16 qui vaut « π × $factor16 »,
$pi-x10-x16 qui vaut « π × factor16 ».

La fonction à utiliser est donc :

sub conv-pi(Int $scale) {
  # https://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Approximate_value_and_digits
  # https://oeis.org/A000796
  my Str $pi-alpha = '314159265358979323846264338327950288419716939937510';

  my Int $scale10 = ($scale × 6 / 5).ceiling;
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $factor16 .= new(:radix(16), :value('1' ~ '0' x $scale));
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $factor10 .= new(:radix(10), :value('1' ~ '0' x $scale10));
  $factor16 = $operation.conversion(number => $factor16, radix => 10);
  $factor10 = $operation.conversion(number => $factor10, radix => 16);

  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $pi-x10 .= new(:radix(10), :value($pi-alpha.substr(0, 1 + $scale10)));
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $pi-x10-x16 = $operation.multiplication(multiplicand => $pi-x10, multiplier => $factor16);
  $pi-x10-x16 = $operation.conversion(number => $pi-x10-x16, radix => 16);
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $pi-x16 = $operation.division(dividend => $pi-x10-x16, divisor => $factor10);
  return $pi-x16.value;
}

Il est facile d'adapter cette fonction à d'autres bases de numération comme la base 12. Le point le plus délicat est de trouver par quelle valeur remplacer la fraction « 6/5 » permettant de calculer le facteur d'échelle pour la base 10.

Le programme correspondant est disponible dans le répertoire examples de la distribution.

Cela dit, si Raku ne peut pas faire de calculs étendus avec des Num, il peut en faire avec des entiers, les Int natifs étant des BigInt en toutes choses sauf le nom. Donc la fonction peut être très légèrement simplifiée avec :

sub conv-pi(Int $scale) {
  # https://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Approximate_value_and_digits
  # https://oeis.org/A000796
  my Str $pi-alpha = '314159265358979323846264338327950288419716939937510';

  my Int $scale10 = ($scale × 6 / 5).ceiling;
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $factor16 .= new(:radix(10), :value((16 ** $scale).Str));
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $factor10 .= new(:radix(10), :value('1' ~ '0' x $scale10));
  $factor10   = $operation.conversion(number => $factor10  , radix => 16);

  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $pi-x10   .= new(:radix(10), :value($pi-alpha.substr(0, 1 + $scale10)));
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $pi-x10-x16 = $operation.multiplication(multiplicand => $pi-x10, multiplier => $factor16);
  $pi-x10-x16 = $operation.conversion(number => $pi-x10-x16, radix => 16);
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $pi-x16 = $operation.division(dividend => $pi-x10-x16, divisor => $factor10);
  return $pi-x16.value;
}

et on y gagne quelques cycles de CPU.

Dans le cas du nombre d'or φ, il n'est pas nécessaire de faire des conversions entre la base 10 et la base de destination. Il suffit d'appliquer la formule « (1 + √5) / 2 » directement dans la base de destination, en y intégrant les facteurs d'échelle adéquats.

sub phi(Int $radix, Int $scale) {
  my $zero = '0' x $scale;
  my Arithmetic::PaperAndPencil $op .= new;
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $five .= new(:radix($radix), :value('5' ~ $zero ~ $zero));
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $one  .= new(:radix($radix), :value('1' ~ $zero));
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $two  .= new(:radix($radix), :value<2>);
  my Arithmetic::PaperAndPencil::Number $x = $op.square-root($five);
  $x = $op.addition($one, $x);
  $x = $op.division(dividend => $x, divisor => $two);
  return $x.value;
}

Attention, cette fonction n'est valable que pour la base 6 et au-delà. Je vous laisse deviner pourquoi et je vous laisse adapter la fonction au cas général. Ou bien allez voir dans le répertoire examples.

Bien sûr, on dispose de formules arithmétiques pour calculer π et e. Mais ces formules reposent sur des séries infinies convergentes, avec une vitesse de convergence qui peut varier de « raisonnablement rapide » à « désespérément lente ». Par exemple,

atan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
π = 4 × atan(1)
π = 16 × atan(1/5) - 4 × atan(1/237)

Étant donné que chaque multiplication et chaque division est déjà un processus itératif, les inclure dans une boucle externe permettant de calculer l'arc-tangente avec Arithmetic::PaperAndPencil est une mauvaise idée. Essayez un autre logiciel pour ce faire.

Racine carrée et méthode de Newton

Pour extraire une racine carrée, j'utilise la méthode de la potence, qui possède d'importants points communs avec la méthode homonyme pour la division. Certains diront : « Pourquoi utiliser cette méthode, alors que la méthode de Newton converge très rapidement ? Cf. le programme ci-dessous, qui permet de calculer √2 avec 8 chiffres décimaux en 4 itérations (plus une cinquième pour s'assurer que les 8 premiers chiffres décimaux ne varient plus ; en fait, on s'aperçoit même que la précision obtenue est de 11 chiffres décimaux). »

sub test-num {
  my Num $x  = 2.Num;
  my Num $r1;
  my Num $ε  = 1e-8;
  my Num $r2 = 1.Num;
  my Int $n;
  my Int $n-max = 1000;

  for 1 .. $n-max -> $n {
    $r1 = $r2;
    $r2 = ½ × ($r1 + $x / $r1);
    say $n, ' ', $r2.Num;
    if ($r1 - $r2).abs < $ε {
      last;
    }
  }
}

Certes, la méthode de Newton est très rapide, à condition d'effectuer les divisions avec un appareil électronique. Essayez de faire le test suivant. Vous éteignez tous les appareils électroniques dans votre entourage : ordinateur, smartphone, montre connectée, borne Alexa ou similaire, et ainsi de suite, jusqu'à la calculatrice que votre grand-père avait achetée dans les années 1970. Équipez-vous d'une feuille de papier et d'un crayon, éventuellement d'une gomme, puis calculez √2 avec 8 chiffres après la virgule, en utilisant la méthode de Newton. J'ai fait ce test, voir ci-dessous (les lignes horizontales sont un artefact de la numérisation, causé par les pliures de la feuille de papier).

image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_test_newton_webp not found

Transcription

16h21   ½( 1    +  2/1)  =   3/2             17      17
        ½( 3/2  +  4/3)  =  17/12          × 17    × 12
        ½(17/12 + 24/17) = 577/408         ----    ----
                                            119      34
                                            17      17
                                           ----    ----
                                            289     204
                                          + 288     408
                                           ----
                                            577
16h23

  577,00000000|408
  169 0       |---
  058 0       |1,41421568
   17 20
    0 880
      0640
       2320
        2800
         3520
          254
16h26
 ----------
 2,0000000000000000|1,41421568
 0 585784320       |----------
   0200980480      |1,41421144
    0595589120     |1,41421568
     0299028480    |       ---
      0161854440   |       712
       0204328720  |1,41421356
        0629071520
         0633852480
          068166208
16h35

Quelques explications. N'attribuez aucune signification importante aux traits verticaux joignant un chiffre zéro à un autre chiffre zéro. Je les ai tracés simplement pour m'assurer que les chiffres sont bien alignés sur le papier sans carreaux.

Le test est assez biaisé dans un sens favorable à la méthode de Newton. Avant tout, la valeur de √2 est assez bien connue, donc je savais où j'allais. Ensuite, au lieu de partir directement sur la valeur décimale avec 8 chiffres fractionnaires dès la première itération, j'ai calculé les trois premières valeurs sous forme d'une fraction et c'est seulement lors de la troisième itération que j'ai adopté la valeur décimale avec 8 chiffres fractionnaires. J'ai donc effectué une division 11-par-3 (plus deux multiplications 2-par-2) au lieu de trois divisions 17-par-9. Puis, comme les deux termes 1,41421144 et 1,41421568 commencent par les mêmes chiffres, je me suis contenté d'additionner les trois derniers chiffres et de les diviser par 2, au lieu de tout additionner et de tout diviser par 2. Lors des calculs sur fractions, j'ai presque tout fait de tête, comme par exemple la multiplication 12 × 24 = 288. En revanche, la multiplication 17 × 17, la multiplication 12 × 17 et l'addition 289 + 288 ont été écrites sur papier, ainsi que le doublement 204 → 408.

Malgré ce biais destiné à accélérer les calculs, il m'a fallu un quart d'heure pour calculer la racine carrée, dont 9 minutes pour la division 17-par-9.

Ensuite, j'ai rallumé mon ordinateur et j'ai programmé la méthode de Newton avec Arithmetic::PaperAndPencil. Bien sûr, pour avoir des résultats équivalents, il s'est agi de calculer la racine carrée de 2×10^16, avec la valeur initiale 10^8. Voir pourquoi dans le chapitre précédent. La différence avec mon test sur papier est qu'il n'y a pas de calcul avec des fractions (3/2, 17/12, 577/288). Dès la première itération, le calcul porte sur des valeurs successives à 9 chiffres : 1,50000000, 1,41666666, etc. D'autre part, j'ai adopté le type de division "cheating". C'est justifié par le fait que, lors de mon test sur papier, je prenais en compte le diviseur partiel sur deux chiffres, soit 14, au lieu du diviseur partiel sur un chiffre. Ainsi, lors de la division de 58578432 par 141xxx, je ne faisais pas « En 5 combien de fois 1, il y va 5 fois », mais « En 58, combien de fois 14, il y va 4 fois ». À 10 ans, je ne savais pas par cœur la table des 14, maintenant je la connais un peu mieux.

Le programme correspondant est disponible dans le répertoire examples de la distribution.

En faisant des statistiques sur le fichier CSV (combien de lignes "DIV01" et combien de lignes "MUL01"), j'ai constaté que la méthode de Newton requérait 90 divisions 1-par-1 ou 2-par-1, ainsi que 371 multiplications 1-par-1. On note également 31 actions "DIV03" (« Je triche, j'essaie directement n »). Rien que pour la division 200...0 par 141..68, il y a eu 9 divisions 1-par-1, 81 multiplications 1-par-1 et 8 actions "DIV03".

J'ai également fait la contre-expérience consistant à calculer √2 avec la méthode de la potence, une première fois sans aucune aide électronique et une seconde fois avec mon module. Voici le résultat du test sur papier

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et sa transcription (j'omets les soulignements des additions, il font perdre de la place inutilement)

Comme vous pouvez le constater, lors du calcul du sixième chiffre fractionnaire, l'évaluation était faite avec 1007590 divisé par 282842, soit 100 divisé par 28. Par erreur, j'ai essayé 4, ce qui était trop fort, j'aurais dû le savoir. Ensuite j'ai essayé la bonne valeur, 3. Cela explique la rature sur le chiffre 3 (absente de la transcription) et le reste partiel rayé 62204 (présent dans la transcription).

Le calcul de la racine carrée avec la méthode de la potence a pris autant de temps que la division 17-par-9 du test de la méthode de Newton, compte tenu du fait que les heures que j'ai notées ont une incertitude d'une minute. Si l'on fait les mêmes statistiques que sur le fichier CSV du test de la méthode de Newton, on trouve 8 divisions 1-par-1 (actions "DIV01"), 10 actions "DIV02" (« C'est trop fort, j'essaie n ») et 107 multiplications 1-par-1 (actions "MUL01"). Les valeurs sont donc légèrement supérieures à celles de la division 17-par-9 qui, je le rappelle, a été effectuée avec l'option "cheating".

Si la méthode de Newton en version électronique est une méthode qui converge très rapidement, sa version papier plus crayon reste plus lente que le calcul par la méthode de la potence. Et pour en revenir à la version électronique, bien qu'elle converge rapidement, elle reste tout de même plus lente qu'une simple instruction $y = $x.sqrt;.

Bibliographie

Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Karl Menninger, éditions Vanderhoeck & Ruprecht Publishing Company, je ne peux pas vous donner l'ISBN.

Number Words and Number Symbols, A Cultural History of Numbers, Karl Menninger, éditions Dover, ISBN 0-486-27096-3, traduction anglaise du précédent

Histoire d'Algorithmes, du caillou à la puce, Jean-Luc Chabert et al, éditions Belin, ISBN 2-7011-1346-6

Voir également un programme pour HP48 et similaires, div_pro.

Licence

Texte diffusé sous la licence CC-BY-ND : Creative Commons avec clause de paternité, excluant la modification.

Introduction

Historique

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image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_racine_carree_jpeg not found

But

Ce que le module ne fera pas

Ce que le module fera

Une source de confusion éventuelle

Opérations

Addition

Soustraction

Soustraction indépendante

Soustraction incluse dans un autre calcul

Soustraction utilisant le complément à b

Multiplication

Standard

Variante « par jalousie »

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Variante « bateau » (boat)

Multiplication égyptienne ou russe

Division

Division standard

« Harponnage » dans la division standard

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Division et calcul du PGCD

Division standard et dissociation de la multiplication et de la soustraction

Division « bateau » (boat)

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Racine carrée

Implémentation

Coordonnées

Feuille de papier

Actions

Champ level

Codes actions particuliers

Remarques diverses

Possibilités laissées de côté

Fonctionnalités laissées de côté

Nombres à virgule

Preuve par 9

Bouliers

Multiplication en croix

Autres opérations arithmétiques

Bases de numération 37 et au-delà

Extensions des opérations arithmétiques

Choix techniques abandonnés

Structure de la classe Arithmetic::PaperAndPencil::Action

Bases de données

Formats de sortie

Addition « en zigzag »

Modules CSV et modules HTML

Considérations diverses

Conversion d'un nombre de base 10 en base b

Racine carrée et méthode de Newton

image izef_arithmetic_paperandpencil_dist_doc_test_newton_webp not found

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Bibliographie

Licence

Arithmetic::PaperAndPencil v0.0.1

Authors

License

Dependencies

Test Dependencies

Provides

Documentation

Division « bateau » (`boat`)

Champ `level`

Structure de la classe `Arithmetic::PaperAndPencil::Action`